Lũy thừa của 0 và 1

0 n = 0 {\displaystyle 0^{n}=0\,} .(n > 0) 1 n = 1 {\displaystyle 1^{n}=1\,} .

Lũy thừa với số mũ nguyên dương

Trong trường hợp b = n là số nguyên dương, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a:

a n = a × a ⋯ × a ⏟ n {\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\times a\cdots \times a} _{n}}

Các tính chất quan trong nhất của lũy thừa với số mũ nguyên dương m, n là

a m + n = a m × a n {\displaystyle a^{m+n}=a^{m}\times a^{n}} a m − n = a m a n {\displaystyle a^{m-n}={\frac {a^{m}}{a^{n}}}} với mọi a ≠ 0 ( a m ) n = a m n {\displaystyle (a^{m})^{n}=a^{mn}} a m n = a ( m n ) {\displaystyle a^{m^{n}}=a^{(m^{n})}} ( a × b ) n = a n × b n {\displaystyle (a\times b)^{n}=a^{n}\times b^{n}} ( a b ) n = a n b n {\displaystyle ({\frac {a}{b}})^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}}

Đặc biệt, ta có:

a 1 = a {\displaystyle a^{1}=a}

Trong khi các phép cộng và phép nhân có tính chất giao hoán, phép tính lũy thừa không có tính giao hoán.

Tương tự các phép cộng và nhân có tính kết hợp, còn phép tính lũy thừa thì không.. Khi không có dấu ngoặc, thứ tự tính của các lũy thừa là từ trên xuống, chứ không phải là từ dưới lên:

a b c = a ( b c ) ≠ ( a b ) c = a ( b ⋅ c ) = a b ⋅ c {\displaystyle a^{b^{c}}=a^{(b^{c})}\neq (a^{b})^{c}=a^{(b\cdot c)}=a^{b\cdot c}}

Lũy thừa với số mũ 0

Lũy thừa với số mũ 0 của số a khác không được quy ước bằng 1.

a 0 = 1 {\displaystyle a^{0}=1}

Chứng minh:

1 = a n a n = a n − n = a 0 {\displaystyle 1={\frac {a^{n}}{a^{n}}}=a^{n-n}=a^{0}}

Lũy thừa với số mũ nguyên âm

Lũy thừa của a với số mũ nguyên âm m, trong đó ( m = − n {\displaystyle m=-n} ) a khác 0 và n là số nguyên dương là:

a − n = 1 a n {\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}} .

Ví dụ

3 − 4 = 1 3 4 = 1 3.3.3.3 = 1 81 {\displaystyle 3^{-4}={\frac {1}{3^{4}}}={\frac {1}{3.3.3.3}}={\frac {1}{81}}} .

Cách suy luận ra "lũy thừa với số mũ nguyên âm" từ "lũy thừa với số mũ không":

a 0 = a n − n = a n a n = a n . 1 a n = a n . a − n {\displaystyle a^{0}=a^{n-n}={\frac {a^{n}}{a^{n}}}=a^{n}.{\frac {1}{a^{n}}}=a^{n}.a^{-n}}

Trường hợp đặc biệt: lũy thừa của số khác không a với số mũ −1 là số nghịch đảo của nó.

a − 1 = 1 a . {\displaystyle a^{-1}={\frac {1}{a}}.}